3.260 \(\int (c+d x)^3 \sin (a+b x) \tan ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=228 \[ -\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}+\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b} \]

[Out]

((6*I)*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Cos[a +
b*x])/b - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*
(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 +
((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b + (6*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.21102, antiderivative size = 228, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 13, number of rules used = 8, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {4407, 3296, 2637, 4409, 4181, 2531, 2282, 6589} \[ -\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}+\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2,x]

[Out]

((6*I)*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 + ((c + d*x)^3*Cos[a +
b*x])/b - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*
(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 +
((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b + (6*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2

Rule 4407

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^n*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^(n - 2)*Tan[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 3296

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cos[e + f*x])/f, x] +
Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2637

Int[sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 4409

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
((c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^n)/(b*n), x] - Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sec[a + b*x]^n, x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \sin (a+b x) \tan ^2(a+b x) \, dx &=-\int (c+d x)^3 \sin (a+b x) \, dx+\int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \cos (a+b x) \, dx}{b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \sin (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}+\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (6 d^3\right ) \int \cos (a+b x) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac{6 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}+\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac{6 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 1.60966, size = 532, normalized size = 2.33 \[ \frac{\sec (a+b x) \left (-12 i b d^2 (c+d x) \cos (a+b x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )+12 i b d^2 (c+d x) \cos (a+b x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )+12 d^3 \cos (a+b x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )-12 d^3 \cos (a+b x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^2 c^2 d \sin (2 (a+b x))+3 b^3 c^2 d x \cos (2 (a+b x))+12 i b^2 c^2 d \cos (a+b x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )+b^3 c^3 \cos (2 (a+b x))+3 b^3 c d^2 x^2 \cos (2 (a+b x))-6 b^2 c d^2 x \sin (2 (a+b x))-12 b^2 c d^2 x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \cos (a+b x)+12 b^2 c d^2 x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \cos (a+b x)-3 b^2 d^3 x^2 \sin (2 (a+b x))+b^3 d^3 x^3 \cos (2 (a+b x))-6 b^2 d^3 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \cos (a+b x)+6 b^2 d^3 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \cos (a+b x)-6 b c d^2 \cos (2 (a+b x))+6 d^3 \sin (2 (a+b x))-6 b d^3 x \cos (2 (a+b x))+9 b^3 c^2 d x+3 b^3 c^3+9 b^3 c d^2 x^2+3 b^3 d^3 x^3-6 b c d^2-6 b d^3 x\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Sin[a + b*x]*Tan[a + b*x]^2,x]

[Out]

(Sec[a + b*x]*(3*b^3*c^3 - 6*b*c*d^2 + 9*b^3*c^2*d*x - 6*b*d^3*x + 9*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*d^3*x^3 + (12*I)*b^
2*c^2*d*ArcTan[E^(I*(a + b*x))]*Cos[a + b*x] + b^3*c^3*Cos[2*(a + b*x)] - 6*b*c*d^2*Cos[2*(a + b*x)] + 3*b^3*c
^2*d*x*Cos[2*(a + b*x)] - 6*b*d^3*x*Cos[2*(a + b*x)] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Cos[2*(a + b*x)] + b^3*d^3*x^3*Cos[2*(a
+ b*x)] - 12*b^2*c*d^2*x*Cos[a + b*x]*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 6*b^2*d^3*x^2*Cos[a + b*x]*Log[1 - I*E^(I*
(a + b*x))] + 12*b^2*c*d^2*x*Cos[a + b*x]*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + 6*b^2*d^3*x^2*Cos[a + b*x]*Log[1 + I*E^
(I*(a + b*x))] - (12*I)*b*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + (12*I)*b*d^2*(c + d*x)
*Cos[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] + 12*d^3*Cos[a + b*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - 12*d^3*Co
s[a + b*x]*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^2*c^2*d*Sin[2*(a + b*x)] + 6*d^3*Sin[2*(a + b*x)] - 6*b^2*c*d^2
*x*Sin[2*(a + b*x)] - 3*b^2*d^3*x^2*Sin[2*(a + b*x)]))/(2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.296, size = 677, normalized size = 3. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*sin(b*x+a)*tan(b*x+a)^2,x)

[Out]

1/2*(d^3*x^3*b^3+3*b^3*c*d^2*x^2+3*b^3*c^2*d*x+b^3*c^3+3*I*b^2*d^3*x^2-6*b*d^3*x+6*I*b^2*c*d^2*x-6*c*d^2*b+3*I
*b^2*c^2*d-6*I*d^3)/b^4*exp(I*(b*x+a))+1/2*(d^3*x^3*b^3+3*b^3*c*d^2*x^2+3*b^3*c^2*d*x+b^3*c^3-3*I*b^2*d^3*x^2-
6*b*d^3*x-6*I*b^2*c*d^2*x-6*c*d^2*b-3*I*b^2*c^2*d+6*I*d^3)/b^4*exp(-I*(b*x+a))+2*(d^3*x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*d*
x+c^3)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*x+a))+1)-3*d^3/b^4*a^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))-6*I*c*d^2*polylog(2,-I*exp(I
*(b*x+a)))/b^3+6*d^2/b^3*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a+6*d^2/b^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x-6*d^2/b^2*c*ln(1-I*ex
p(I*(b*x+a)))*x+3*d^3/b^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*d^2/b^3*c*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a-6*I*d^3*x*polylog(2,
-I*exp(I*(b*x+a)))/b^3-3*d^3/b^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+3*d^3/b^4*a^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+6*I*d^3*x*pol
ylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3-6*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*d^3*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*I*
d^3/b^4*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6*I*c*d^2*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+6*I*d/b^2*c^2*arctan(exp(I*(b*x+a
)))-12*I*d^2/b^3*c*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 6.93555, size = 14923, normalized size = 65.45 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sin(b*x+a)*tan(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*c^3*(1/cos(b*x + a) + cos(b*x + a)) - 6*a*c^2*d*(1/cos(b*x + a) + cos(b*x + a))/b + 6*a^2*c*d^2*(1/cos(
b*x + a) + cos(b*x + a))/b^2 - 2*a^3*d^3*(1/cos(b*x + a) + cos(b*x + a))/b^3 + 3*((b*x + (b*x + a)*cos(2*b*x +
2*a) + a + sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^3 + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + ((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) -
cos(2*b*x + 2*a) - 1)*sin(3*b*x + 3*a)^3 + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + 2*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x
+ 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*cos(b*x + a) + (3*(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*c
os(3*b*x + 3*a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (8*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)
*sin(b*x + a) + (b*x + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a + sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a)*co
s(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a) - 2*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 +
((b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a)^2 + ((b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*cos(
b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x + (13*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b
*x + a)*sin(b*x + a)^2 + 2*b*x + 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a
)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + a)*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + 3*(b*x + a)*cos
(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + (b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*cos(b*x + a) -
((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin
(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x
+ 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*
x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)
^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)
^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b
*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2
*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin
(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2
*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a)
+ cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*
(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x
+ a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + (((b*x +
a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + 2*(
((b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(2*b*x +
2*a) + (b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - co
s(b*x + a)^2 - sin(b*x + a)^2 - 2)*cos(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a)^2 - cos(b*x + a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x
+ a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) - sin(2*b*x + 2*a)^2 - sin(b*x + a)^2 - 1)*sin(3*b*x +
3*a) + 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^2*sin(b*x + a) + (b*x + a)*sin(b*x + a)^3)*sin(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*
c^2*d/(((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^
2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*si
n(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) +
cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b
*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x
+ 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b)
- 6*((b*x + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a + sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^3 + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^
3 + ((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*sin(3*b*x + 3*a)^3 + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x
+ a)^2 + 2*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*cos(b*x + a) + (3*(b*x + a)*sin(b*x + a) +
cos(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)
^2 + (8*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (b*x + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a + sin(2*b*x + 2*a))*co
s(3*b*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a) - 2*s
in(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a)^2 + ((b*x + a)*cos(
2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x +
(13*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + 2*b*x + 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b
*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + a)*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a
)*cos(b*x + a)^3 + 3*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + (b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x
+ 2*a) + (b*x + a)*cos(b*x + a) - ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*
x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 +
2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*
b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*
cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)
^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x
+ 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + si
n(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x +
2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)
^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2
+ 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(
2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2
*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^
2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + (((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 12*(b*x +
a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + 2*(((b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)*cos(b*
x + a) + sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + (12*(b*x +
a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)^2 - sin(b*x + a)^2 - 2)*cos(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a)^2 - c
os(b*x + a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) - sin(2*b*x + 2*a)^2
- sin(b*x + a)^2 - 1)*sin(3*b*x + 3*a) + 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^2*sin(b*x + a) + (b*x + a)*sin(b*x + a)^3)
*sin(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*a*c*d^2/(((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)
*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x +
2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 +
2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b
*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b
*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*s
in(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b^2) + 3*((b*x + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a + sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*
x + 3*a)^3 + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + ((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) - 1)*sin(3*b*x + 3*a)
^3 + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + 2*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*cos(
b*x + a) + (3*(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x
+ a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (8*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (b*x + (b*x + a)*cos(2
*b*x + 2*a) + a + sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x +
2*a) + 6*(b*x + a)*cos(b*x + a) - 2*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)
)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + ((b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a
)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x + (13*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + 2*b*x + 2*a)*
cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)
+ a)*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + 3*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + (b*x + a)*c
os(b*x + a) - sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*cos(b*x + a) - ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a
)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos
(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x
+ a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*
x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)
+ cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*s
in(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x
+ a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) +
1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x
+ a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*
(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin
(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)
^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + (((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a
) - 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + 2*(((b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)
)*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b
*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)^2 - sin(b*x + a)^2 - 2)*cos
(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a)^2 - cos(b*x + a)^2 + ((b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2)
*sin(2*b*x + 2*a) - sin(2*b*x + 2*a)^2 - sin(b*x + a)^2 - 1)*sin(3*b*x + 3*a) + 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^2*si
n(b*x + a) + (b*x + a)*sin(b*x + a)^3)*sin(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*a^2*d^3/(((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*
b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)
^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 +
sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2
*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*
x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x
+ 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b^3) + 2*((b*x + a)^3*d^3 - 6*b*c*d^2
+ (6*a + 6*I)*d^3 + (3*b*c*d^2 - (3*a + 3*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + ((b*x + a)^3*d^3 - 6*b*c*d^2 + (6*a - 6*I)*d^3
+ (3*b*c*d^2 - (3*a - 3*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (6*I*b*c*d^2 - 6*(I*a + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 +
6*((b*x + a)^3*d^3 - 2*b*c*d^2 - 2*(b*x + a)*d^3 + 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a)^2
- ((b*x + a)^3*d^3 - 6*b*c*d^2 + (6*a - 6*I)*d^3 + (3*b*c*d^2 - (3*a - 3*I)*d^3)*(b*x + a)^2 - (-6*I*b*c*d^2 -
6*(-I*a - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (12*I*(b*x + a)^3*d^3 - 24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 +
24*I*a*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 - 2*b*c*
d^2 - 2*(b*x + a)*d^3 + 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2)*sin(b*x + a)^2 + (-6*I*b*c*d^2 - 6*(-I*a +
1)*d^3)*(b*x + a) + ((6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12
*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin
(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a)
- 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^3 +
(12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*
((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 +
12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) - (6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a
))*cos(b*x + a) - (-6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*
a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1)
+ ((6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I
*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*co
s(3*b*x + 3*a) + ((6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - 6*((b*x + a)^2*
d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 1
2*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*((b*x + a)^2*d^3
+ 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) - (6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) -
(-6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - 6*((b*x + a)
^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) + ((7*(b*x + a)
^3*d^3 - 18*b*c*d^2 + (18*a - 6*I)*d^3 + (21*b*c*d^2 - (21*a - 3*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (6*I*b*c*d^2 - 6*(I*a +
3)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (7*I*(b*x + a)^3*d^3 - 18*I*b*c*d^2 - 6*(-3*I*a - 1)*d^3 + (21*I*b*c*d^2 -
3*(7*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 - (6*b*c*d^2 - (6*a - 18*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((
b*x + a)^3*d^3 - 6*b*c*d^2 + (6*a + 6*I)*d^3 + (3*b*c*d^2 - (3*a + 3*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b*c*d^2 - 6*(
-I*a + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3 + (12*I*b*c*d^2
+ 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*c
os(3*b*x + 3*a) + ((12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*cos(b*x + a) - 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3
- a*d^3)*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*cos(b*x + a) - (12
*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b*c*d^
2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) - (12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3
)*cos(b*x + a) - (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - 12*(b*c*d^
2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x + a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) + ((-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*
I*a*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a
*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*cos(b*x + a) + 1
2*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*
I*a*d^3)*cos(b*x + a) + (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2
*b*x + 2*a) + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) + (12*(b*c*d
^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(b*x + a) + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*sin(b*x + a))*sin(
2*b*x + 2*a) + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x + a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) - ((3*(b*x + a)^2*
d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (
-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + (3*((b*x + a
)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*
x + a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (-
3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3
)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*
x + 3*a) - ((-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 +
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - (-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*
d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + ((3*(b*x + a)^2*d^3
+ 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (3*I*
(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + (3*((b*x + a)^2*d^
3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*
sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (3*I*(b*x
+ a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))
*cos(2*b*x + 2*a) - 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) + (
(3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a
*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) + (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*
sin(b*x + a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) - (12*d^3*cos(b*x + a) + 12*I*d^3*sin(
b*x + a) + 12*(d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + d^3)*cos(3*b*x + 3*a) + 12*(d^3*cos(b*x + a) +
I*d^3*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 12*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - 12*I*d^3)*sin(3
*b*x + 3*a) - (-12*I*d^3*cos(b*x + a) + 12*d^3*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) +
(12*d^3*cos(b*x + a) + 12*I*d^3*sin(b*x + a) + 12*(d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + d^3)*cos(3
*b*x + 3*a) + 12*(d^3*cos(b*x + a) + I*d^3*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - 12*d^
3*sin(2*b*x + 2*a) + 12*I*d^3)*sin(3*b*x + 3*a) + (12*I*d^3*cos(b*x + a) - 12*d^3*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*
a))*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) + ((2*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 - 12*(-I*a - 1)*d^3 + (6*I*b*c*d^2 -
6*(I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 - (12*b*c*d^2 - (12*a - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + (7*I*(b*x + a)^
3*d^3 - 18*I*b*c*d^2 - 6*(-3*I*a - 1)*d^3 + (21*I*b*c*d^2 - 3*(7*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 - (6*b*c*d^2 - (6*a
- 18*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (7*(b*x + a)^3*d^3 - 18*b*c*d^2 + (18*a - 6*I)*d^3 + (21*b*c*d^2 - (21
*a - 3*I)*d^3)*(b*x + a)^2 - (-6*I*b*c*d^2 - 6*(-I*a - 3)*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (I*
(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 - 6*(-I*a + 1)*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*(I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (6*b*c*d^2 -
(6*a + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(2*b^3*cos(b*x + a) + 2*I*b^3*sin(b*x + a) + (2*b^3*cos(2*b*x +
2*a) + 2*I*b^3*sin(2*b*x + 2*a) + 2*b^3)*cos(3*b*x + 3*a) + (2*b^3*cos(b*x + a) + 2*I*b^3*sin(b*x + a))*cos(2*
b*x + 2*a) - (-2*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 2*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 2*I*b^3)*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(I*b^3*cos(b*
x + a) - b^3*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a)))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.745178, size = 2237, normalized size = 9.81 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sin(b*x+a)*tan(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 2*b^3*c^3 + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a
) + sin(b*x + a)) - 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(
3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 2*(b^3*d^
3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 - 6*b*c*d^2 + 3*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + (6*I*b*d^3*x + 6*I
*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I
*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)
) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d
^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(
b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(
b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(
b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(
b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos
(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-co
s(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*si
n(b*x + a) + I) - 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d - 2*d^3)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a))/(b^4*cos(b*x
+ a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{3} \sin{\left (a + b x \right )} \tan ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*sin(b*x+a)*tan(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*sin(a + b*x)*tan(a + b*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \sin \left (b x + a\right ) \tan \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sin(b*x+a)*tan(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*sin(b*x + a)*tan(b*x + a)^2, x)